Olasılık Teorisi ve İstatistik Ders 1

Kitaplar

• A.H. Kayran ve M.N. Yücel
  “Olasılık Teorisi ve Stokastik Süreçler”
  Papatya Yayınevi
• Sheldon M. Ross
  “… Olasılık ve İstatistiğe Giriş”
  Nobel Yayınevi

Örnek Uzayları, Olaylar ve Rastgele Deney

Rastgele Deney

Bir deney aynı şekilde tekrar edildiği halde farklı sonuçlar verebilyiorsa bu deneye “rastgele deney” denir.

Kolaylık açısından bu derste “rastgele” kelimesini devamlı kullanamayacağız.

Örnek Uzayı

Bir deneyde oluşabilecek tüm sonuçlardan oluşan kümeye “örnek uzayı” denir. S ile gösterilir.

*Para~atma~deneyi \rightarrow S=\{Yazı,Tura\}

*Zar~atma~Deneyi \rightarrow S=\{1,2,3,4,5,6\}

*Bir~telin~kalınlığının~ölçümü \rightarrow S=\{x \mid x>0, x \in \mathbb{R^+} \}

Tellerin 10mm’den daha ince olması imkansız ise

S=\{x \mid x>10mm, x \in \mathbb{R} \}

x’in 10 ile 25 mm arasında olması bekleniyorsa

S=\{x \mid 15mm>x>10mm, x \in \mathbb{R} \}

\begin{align*}
&E=\{Çift~gelme~olayı\}\\
&E=\{ 2,4,6 \}
\end{align*}

\begin{align*}
&E=\{Aynı~sayı~gelme~olayı\}\\
&E=\{ 11, 22, 33, 44, 55, 66 \}
\end{align*}

Temel olay

Bir olay ayrık örnek uzayının 1 noktasından oluşuyorsa buna temel olay (*basit olay) denir.

S=\{11,12,\dots,55,56\}\\
O_1 = \{11\}~~O_2 = \{12\}~~\dots~~O_{36} = \{66\}

Küme İşlemleri

Birleşim:

E_1 \cup E_2

Kesişim:

E_1 \cap E_2

Tümleyen:

E^C

Bazı özellikler

(E^C)^C=E

Değişme Özelliği:

AB=BA\\
A \cup B = B \cup A

DeMorgan Kuralı

(AB)^C=A^C \cup B^C \\
(A \cup B)^C = A^C B^C

Dağılma Özelliği

(AB) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)\\
(A \cap B) \cup C = (AC) \cup (BC)

Örnek:

2 defa para atma deneyi gerçekleşiyor (sıralı)

S=\{YY, YT, TY, TT\}

\begin{align*}
&E_1=\{En~az~1~kez~yazı~gelme~olayı\}\\
&E_1=\{YY,YT,TY\}\\\\
&E_2=\{2~kez~yazı~gelme~olayı\}\\
&E_2=\{YY\}\\\\
&E_3=\empty : İmkansız~Olay~(Impossible~Event)\\
&E_4=S : Kesin~Olay~(Certain~Event)\\\\
&E_5=\{En~az~1~kez~tura~gelme~olayı\}\\
&E_5=\{YT,TY,TT\}\\\\
&E_1E_5=\{YT,TY\}\\
&E_1^C=\{TT\}
\end{align*}

Örnek: Diyelim ki bir rastgele deney için Örnek uzayı S=\mathbb{R^+} olsun.

\begin{align*}
E_1&=\{x\mid 10 \leq x \leq 12 \}\\
E_2&=\{x\mid 11 \leq x \leq 15 \}\\
E_1E_2&=\{x\mid 11 \leq x \leq 12 \}\\
E_1^C&=\{x\mid 0 < x < 10 ~ve~ x > 12 \}\\
E_1^CE_2&=\{x\mid 12 < x < 15 \}\\

\end{align*}

(Birbirini Dışlayan) Bağdaşmaz Olaylar (Mutually Exclusive Events)

E_1 ve E_2 olaylarının her ikisinin birde noluşması mümknü değilse, yani

E_1E_2 = \empty

ise E_1 ve E_2 “bağdaşmaz” olaylardır.

Not: Bağımsızlık ile karıştırmayalım.

OLASILIĞIN İZAHI

OLASILIK (Probability): Yapılan bir rastgele deneye ait bir olayın oluşma şansını sayıya dökmek için kullanılır. 0 ile 1 arasında değerler alır.

E olayının oluşma olasılığı:

P\{E\}

ile gösterilir.

P\{E\}=0~~~~E=\empty\\
P\{E\}=1~~~~E=S

Eşit Olabilirlik

Bir deneyin örnek uzayına ait temel olayların oluşma şansı aynıysa bu temel olaylar “eşit olabilirli” kabul edilir.

Mesela bir örnek uzayı P_1, P_2, P_3, \dots, P_N eşit olabilirli temel olaylardan oluşşuyorsa

P\{P_1\}=P\{P_2\}=\dots=P\{P_N\}=\frac{1}{N}

OLASILIĞIN AKSİYOMLARI

Bir rastgele deneyde

\begin{align*}
&S : örnek~uzayı\\
&E : bir~olay~~~(E \subseteq S)
\end{align*}

1. P\{ S \} = 1
2. 0 \leq P\{ E \} \leq 1
3. E_1 ve E_1 birbirini dışlayan olaylar ise, yani E_1E_2 = \empty
   P\{ E_1 \cup E_2 \} = P\{ E_1 \} + P\{ E_2 \}

Bazı sonuçlar:

\begin{align*}
&\star ~~ P\{ \empty \} = 0 \\
&\star ~~ P\{ E^C \} = 1- P\{ E \} \\
&\star ~~ E_1 \subset E_2 =P\{ E_1 \} \leq P\{ E_2 \}
\end{align*}

Aksiyom 3’ü genelleştirelim:

E_1, E_2, \dots , E_n “çifter-çifter” bağdaşmaz olaylar ise yani i \neq j~iken~E_iE_j= \empty ~~~~ 1 \leq i, j \leq n

 P \{ \cup_{i=1}^{n,} E_i \} = \sum_{i=1}^{n} P\{E_i\}

\cup_{i=1}^{n,} E_i = E_1 \cup E_2 \cup \dots \cup E_n

Önerme (Toplam Kuralı)

Bir rastgele deneyde A ve B olayları

P\{ A \cup B \} = P\{ A \} + P\{ B \} - P\{ AB \}

A \cup B = AB^C \cup A^CB \cup AB

P\{ A \} = P\{ AB^C \} + P\{ AB \} ~~\\
P\{ B \} = P\{ A^CB \} + P\{ AB \} ~~\\
P\{ A \cup B \} = P\{ A \} + P\{ B \} - P\{ AB \}