Olasılık Ders 1

Rastgele deney: Bir deney aynı şekilde tekrar edildiği halde farklı sonuçlar verebiliyorsa bu deneye rastgele deney denir.

Örnek uzayı: Bir deneyde oluşabilecek tüm sonuçlardan oluşan kümeye “örnek uzayı” denir. S ile gösterilir.

Para atma deneyinde örnek uzay:

S=\{Yazı, Tura\}

Zar atma deneyi:

S=\{1,2,3,4,5,6\}

Bir telin kalınlığının ölçümü:

S=\{x ~|~ x>0, x \in \mathbb{R^+} \}

Tellerin 10 mm’den daha ince olması imkansız ise

S = \{ x~|~ x>10mm, x\in \mathbb{R} \}

x’in 10 ile 15 mm arasında olması bekleniyorsa

S = \{ x~|~ 15mm>x>10mm, x\in \mathbb{R} \}

Ayrık örnek uzayı: Sonlu veya sonsuz sayıda sayılabilir örnek noktadan oluşan bir örnek uzayına “ayrık örnek uzayı” denir.

Sürekli örnek uzayı: İçinde gerçel sayıların reel eksen üzerinde en az bir aralığı bulunan örnek uzayına “sürekli örnek uzayı” denir.

Olay: Örnek uzayının herhangi bir alt kümesine olay denir.

Örnek:
Deney: Zar atma
Örnek uzayı: S={1,2,3,4,5,6}

\begin{align*}
&E=\{Çift~gelme~olayı\}\\
&E=\{2,4,6\}
\end{align*}

Deney sonucu E kümesinden herhangi bir eleman ise “E olayı gerçekleşti” denir.

Örnek:
Deney: 2 zar atma deneyi.
S={11,12,13,…,55,56}

\begin{align*}
&E=\{Aynı~sayı~gelme~olayı\}\\
&E=\{11,22,33,44,55,66\}
\end{align*}

Temel olay: Bir olay ayrık örnek uzayının 1 noktasından oluşuyorsa buna temel olay(basit deney) denir.

\begin{align*}
&S=\{11,12,13,...,55,56\}\\
&O_1=\{11\},O_2=\{12\},\dots,O_{36}=\{66\} 
\end{align*}

Küme İşlemleri

Birleşim:

E_1 \cup E_2

Kesişim:

E_1 \cap E_2\\
E_1E_2

Tümleyen:

E^C

Bazı özellikler

(E^C)^C=E

Değişme özelliği:

AB=BA \\
A \cup B = B \cup A

DeMorgan Kuralı

(AB)^C=A^C \cup B^C \\
(A \cup B)^C=A^CB^C 

Dağılma Özelliği

(AB) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)\\
(A \cup B) \cap C = (AC)  \cup  (BC)\\

Örnek: 2 defa para atma deneyi (sıralı)
S={YY, YT, TY, TT}

\begin{align*}
&E_1: \{en~az~1~kez~yazı~gelme olayı\} \\
&E_1 = \{YY, YT, TY\}
\end{align*}

\begin{align*}
&E_2: \{2~kez~yazı~gelme olayı\} \\
&E_2 = \{YY\}
\end{align*}

\begin{align*}
&E_3: \varnothing \\
&İmkansız~Olay (Impossible~Event)
\end{align*}

\begin{align*}
&E_4: S \\
&Kesin~Olay (Certain~Event)
\end{align*}

\begin{align*}
&E_5: \{en~az~1~kez~tura~gelme olayı\} \\
&E_5 = \{YT, TY, TT\}
\end{align*}

E_1E_5 = \{YT, TY\}

E_1^C = \{TT\}

Örnek: Diyelim ki bir rastgele deney için örnek uzayı \mathcal{S}=\mathcal{R^+}

\begin{align*}
E_1&=\{ x ~|~ 10 \le x \le 12  \} \\
E_2&=\{ x ~|~ 11 \le x \le 15  \} \\~\\

E_1E_2&=\{ x ~|~ 11 \le x \le 12  \} \\~\\

E_1^C&=\{ x ~|~ 0 < x < 10 ~ve~ x > 12  \} \\
E_1^CE_2&=\{ x ~|~ 12 \le x \le 15  \} 
\end{align*}

(Birbirin Dışlayan) Bağdaşma Olaylar (Mutually Exclusive Events)

E_1 ve E_2 olaylarının her iksinin birden oluşması mümkün değilse, yani

E_1E_2=\varnothing

ise E_1 ve E_2 “bağdaşmaz” olaylardır.

NOT: Bağımsızlık ile karıştırmayalım.

OLASILIĞIN İZAHI

Olasılık (Probability): Yapılan bir rastgele deneye ait bir olayın oluşma şansını sayıya dökmek için kullanılır. O ile 1 arasında değerler alır.

E olayının oluşma olasılığı P{E} veya Pr{E} ile gösterilir

P{E}=0 \Rightarrow E=\varnothing \\
P{E}=1 \Rightarrow E=\mathcal{S}

Eşit Olabilirlik

Bir deneyin örnek uzayına ait temel olayların oluşma şansı aynıysa bu temel olaylar “eşit olabilirli” kabul edilir.

Mesela bir önke uzayı P_1,P_2,P_1,P_3,\dots,P_N eşit olabilirli temel olaylardan oluşuyorsa

P\{ P_1 \} = P\{ P_2 \} = P\{ P_3 \} = \dots =P\{ P_N \} = \frac{1}{N}

OLASILIĞIN AKSİYOMLARI

Bir rastgele deneyde
S: örnek uzayı
E: bir olay E \subseteq S

P \{ S \} = 1

0 \le P\{E\} \le 1

E_1 ve E_2 birbirini dışlayan olaylar ise, yani E_1E_2=\empty

P\{ E_1 \cup E_2 \} = P\{ E_1 \} + P\{ E_2 \}

Bazı sonuçlar

P\{ \empty \} = 0 \\
P\{ E^C \} = 1-P\{ E \} \\
E_1 \sub E_2 = P\{E_1\} \le P\{ E_2 \}

Aksiyom 3’ün genelleştirelim

E_1, E_2, \dots, E_n

E_1, E_2, \dots, E_n “çifter-çifter” bağdaşmaz olaylar ise yani

i \ne j ~~iken~~ E_iE_j=\empty ~~~~ 1 \le i,j \le n

Önerme (Toplam Kuralı)

Bir rastgele deneyde A ve B olayları

P\{ A\cup B \} =P\{ A \} + P\{ B \} - P\{ AB \}