Kaynak: Yöneylem Araştırması ve İşletmecilik Uygulamaları

Yazar: Mehpare Timor

Lineer Programlama

Amaç fonksiyonu:

z=f(x_1,x_2,\dots,x_n)\ (lineer)

Kısıt denklemleri:

g_i(x_1,x_2,\dots,x_n) \leq\geq b_i\ (lineer) \\ i=1,2,\dots,m \\ x_1,x_2,\dots,x_n \geq 0

İki farklı çözüm yönteminden bahsedeceğiz

• Grafik yöntemi
• Simplex yöntemi

Lineer Programlama Problemleri

Örnek 1:

Bir işletme X, Y, Z gibi 3 ürün üretmektedir.
Bir birim X üretiminde 1 birim A malı girdisi ile 1 birim B malı girdisi kullanılmaktadır.
Bir birim Y üretiminde 1 birim A malı 2 birim B malı girdisi kullanılmaktadır.
Bir birim Z üretiminde ise sadece 1 birim A malı girdisi kullanılmaktadır.

İşletmenin elinde 40 birim A malı girdisi ile 20 birim B malı girdisi bulunmaktadır.

Öte yandan
1 birim X ürününün satış fiyatı 10₺,
1 birim Y ürününün satış fiyatı 15₺,
1 birim Z ürününün satış fiyatı 12₺,

Birim X ürününün maliyeti 8₺,
Birim Y ürününün maliyeti 9₺,
Birim Z ürününün maliyeti 7₺

olduğuna göre işletmenin kârının maksimum yapılabilmesi problemini lineer programlama problemi olarak ifade ediniz.

Çözüm:

x_1:\ X\ ürününün\ üretim\ miktarı\\x_2:\ Y\ ürününün\ üretim\ miktarı\\x_3:\ Z\ ürününün\ üretim\ miktarı\\

Amaç fonksiyonu:

Kâr = miktar * (satış~fiyatı - maliyet)

z=(10-8)x_1+(15-9)x_2+(12-7)x_3\ \ max \\ 
\downarrow\\
z=f(x_1,x_2,x_3)=2x_1+6x_2+5x_3\ \ max

Kısıt fonksiyonları

X, Y, Z ürünlerinin her birinin üretimi için 1 tane A malı kullanılmaktadır. 40 birim A malı olduğuna göre:

x_1+x_2+x_3\leq40

X için 1 birim; Y için 2 birim B malı kullanılmaktadır. 20 birim B maldı olduğuna göre:

x_1+2x_2\leq20

Örnek 2:

Bir dikiş makinası haftada 3000 birim kumaş işlemektedir. Elde edilen ürünler A, B ve C olmak üzere 3 adettir.

A ürününün metresinden 400₺
B ürününün metresinden 650₺
C ürününün metresinden 700₺ kâr elde edilmektedir.

En az 900 birim A
En az 400 birim B üretilmektedir.
C’den 1500 birimden fazla üretilmemektedir.
C’nin üretimi B’den en az 2 kat fazla olmalıdır.

Bu problemi lineer programlama problemi olaraka ifade ediniz.

 x_1:\ A\ ürününün\ üretim\ miktarı\\x_2:\ B\ ürününün\ üretim\ miktarı\\x_3:\ C\ ürününün\ üretim\ miktarı\\ 

Amaç fonksiyonu:

z=f(x_1,x_2,x_3)=400x_1+650x_2+700x_3\ \ max

Kısıt denklemleri:

Sırasıyla

• En az 900 birim A üretilmektedir
• En az 400 birim B üretilmektedir
• En fazla 1500 birim C üretilmektedir
• C’nin üretimi B’den en az 2 kat fazla olmalıdır.
• Bir dikiş makinası haftada 3000 birim kumaş işlemektedir.

\begin{align*}
x_1&\geq900\\
 x_2&\geq400\\ 
x_3&\leq1500\\ 
x_3\geq2x_2\rightarrow 2x_2-x_3&\leq0 \\ 
x_1+x_2+x_3&=3000
\end{align*}

Örnek 3:

Bir işletme iki ürün dağıtmaktadır. Bu ürünleri ya kendisi imal etmekte ya da başka bir işletmeden satın almaktadır. Her alternatifin maliyetleri ve üretim süreleri aşağıda verilmiştir.

İşletme her hafta
en az 100 birim A
en az 200 birim B imal etmek ya da satın almak zorundadır.

Haftada 40 saat çalışma süresi vardır ve makinelerin boş kalma maliyeti 2.5₺ / saat’dir.

Ayrıca işletme haftada
A’dan en fazla 60
B’den en fazla 120 tane imal edebiliyor.

Bununla beraber B’den haftada 130 birimden fazla satın alamamaktadır.

Bu problemi lineer programlama problemi olarak ifade ediniz.

Çözüm:

 \begin{align*} &x_1:\ A\ imal\\ &x_2:\ A\ satın\ alma\\ &x_3:\ B\ imal\\ &x_4:\ B\ satın\ alma\\ \end{align*}

Maliyet minimizasyonu (amaç fonksiyonu):

Malların üretimi ve alımının oluşturduğu maliyet + makinanın boşta kaldığı sürede oluşturduğu maliyet

z=f(x_1,x_2,x_3)=1x_1+1.2x_2+1.7x_3+1.5x_4+2.5*(40-(\frac{x_1}{3}+\frac{x_3}{5}))\ \ min

Kısıt denklemleri:

Sırasıyla

• A imal + A satın alma ≥ 100
• B imal + B satın alma ≥ 200
• A imal ≤ 60
• B imal ≤ 120
• B satın alma ≤ 130
• A mallarının üretimi için gereken toplam süre + B mallarının üretimi için gereken toplam süre ≤ 40 saat

\begin{align*}
x_1+x_2&\geq100\\
 x_3+x_4&\geq200\\
 x_1&\leq60\\ 
x_3&\leq120\\
 x_4&\leq130\\
 \frac{x_1}{3}+\frac{x_3}{5}&\leq40
\end{align*}

Örnek 4:

Bir kimya şirketi A ve B şeklinde iki ürün üretmektedir.
1 lt A ürününün maliyeti 160₺ ve
1 lt B ürününün maliyeti 240₺’dir.

Müşteri istemine göre firma gelecek hafta için
en az 6 lt A ve
en az 2 lt B ürünü üretmelidir.

A ve B ürünlerinde kullanılan hammadelerden birinin sunumu azdır ve sadece 30 gram sağlanabilmektedir.
A ürününün her bir litresine 3 gram ve
B ürününün her bir litresine 5 gram gerekli olmaktadır.

Firma toplam maliyetini minimum kılmak için sorunu lineer programlama problemi ile ifade ediniz.

Çözüm:

 \begin{align*} &x_1:\ A\ üretim\ miktarı\\ &x_2:\ B\ üretim\ miktarı\\ \end{align*} 

Amaç fonksiyonu:

A ve B ürünlerinin üretim maliyetinin toplamı

 z=160x_1+240x_2\ \ min 

Kısıt denklemleri:

Sırasıyla

• En az 6 litre A
• En az 2 litre B
• A için 3 gram; B için 5 gram tüketilen hammadeden 30 gram vardır.

 x_1\geq6\\ x_2\geq2\\ 3x_1+5x_2\leq30